Montrer que si \(a\) et \(b\) sont des entiers, alors $$\exists u,v\in{\Bbb Z},\quad au+bv=\operatorname{pgcd}(a,b)$$ (identité de Bézout)

Définition de \(E\)
Soient \(a\) et \(b\) des entiers. On note \(E\) l'ensemble des entiers naturels décomposables sous la forme \(au+bv\), avec \(u,v\in{\Bbb Z}\)

\(E\) est non vide
On peut montrer facilement que \(E\neq\varnothing\) en fixant une certaine valeur pour \(u\) et \(v\)

Soit \(d=\min E\) et soient \(x,y\) tels que \(d=ax+by\). Montrons que \(d=\operatorname{pgcd}(a,b)\)

Puisque \(\operatorname{pgcd}(a,b)\) divise \(a\) et \(b\), \(\operatorname{pgcd}(a,b)\) divise \(ax+by=d\)

Division euclidienne de \(a\) par \(d\) et réécriture de l'équation sous la forme \(au+bv=w\)
Effectuons une division euclidienne de \(a\) par \(d\) : $$\begin{align} &a=dq+r\\ \implies&a=q(ax+by)+r\\ \implies&a-q(ax+by)=r\\ \implies&a(1-qx)+b(-qy)=r\end{align}$$

Division euclidienne \(\implies(r\gt 0\land r\lt d)\implies r=0\)
\(r\gt 0\) d'après le théorème de la division euclidienne, donc \(r\in E\). De plus, d'après le théorème de la division euclidienne, \(r\lt d\). Donc \(r=0\) par construction de \(d\)

Donc \(a=dq\) et \(d\) divise \(au+bv\) pour tout \(u,v\in{\Bbb Z}\)

En prenant \((u,v)=(1,0)\), puis \((u,v)=(0,1)\), on en déduit que \(d|\operatorname{pgcd}(a,b)\)

Conclusion

On a donc : $$\left.\begin{array}{r}d|\operatorname{pgcd}(a,b)\\ \operatorname{pgcd}(a,b)|d\\ d\gt 0\end{array}\right\}\implies d=\operatorname{pgcd}(a,b)$$

(Ensemble des entiers naturels, Ensemble vide, Elément maximal, Pgcd, Division euclidienne, Division - Diviseur - Divisibilité)